Partición de Números Enteros y sus Retículos

El estudio de las particiones de un número entero comenzó a llamar la atención en 1674 cuando Leibniz investigó en [1, p. 37] el número de maneras en las que se puede escribir a un número entero n como suma de enteros positivos en forma decreciente, a lo que les llamo divulsiones hoy conocidas como particiones sin restricciones [2].
Leibniz observó, que hay cinco maneras de escribir al número 4, que son { 3 + 1; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1}, es decir, hay 5 particiones del 4, para el número 5 hay 7 particiones, para el 6 hay 11 particiones etc., y preguntó en una carta a Jacob Bernoulli sobre el número de particiones p(n) de un entero positivo n. Con esta carta, Leibniz daría inicio a una fructífera rama de la teoría de números: la teoría de particiones.
En este taller se estudiarán las particiones, diversas identidades en ellas, determinaremos cuando dos particiones se pueden comparar, con el fin de dotar al conjunto de las particiones de un número n, con un orden, que de-nomiraremos orden de dominación. Construiremos el retículo de particiones que se da a través del orden de dominación sobre el conjunto de particiones.
Finalmente, mostraremos el uso de estos retículos en los modelos de pilotes de arena.
Referencias
[1] D Mahnke. Leibniz auf der Suche nach einer allgemeinen Primzahlglei-chung. Bibl. Math. (3), 1912{1913. https://www.ophen.org/pub-102519.
[2] N.J.A. (ed.) Sloane. The on-line encyclopedia of integer sequences. se-quence A000041. OEIS Foundation, https://oeis.org/A000041. Online; accessed 30 April 2024.