Teorema de acotamiento uniforme para medidas vectoriales

Ponente(s): Rafael Correa Morales

Sean $X$ y $Y$ espacios de Banach reales y denotemos por $\mathcal{L}(X,Y)$ al espacio de operadores lineales $T:X\rightarrow Y$ que son continuos. El teorema de acotamiento uniforme indica que si una colección $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{L}(X,Y)$ es acotada puntualmente, entonces es acotada en $\mathcal{L}(X,Y)$. Consideremos ahora un espacio medible $(\Omega,\Sigma)$ y denotemos por $\mathcal{B}(\Sigma)$ al espacio de Banach formado por funciones medibles $f:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ que son acotadas. Haciendo uso del teorema de acotamiento uniforme de Nikodým para medidas vectoriales, veremos que para que una familia $\llave{T_{\alpha}}_{\alpha\in I}\subseteq \mathcal{L}(\mathcal{B}(\Sigma),Y)$ sea acotada en $\mathcal{L}(\mathcal{B}(\Sigma),Y)$ basta que $\llave{T_{\alpha}\chi_{A}}_{\alpha \in I}\subseteq Y$ sea acotada, para cada $A\in \Sigma$. En la exposición se presentarán los conceptos involucradas.