Valores propios de matrices laplacianas del grafo cíclico con sobrepeso en una arista

Ponente(s): Alejandro Soto González, Dr. Sergei Grudsky, Dr. Egor Maximenko

Estudiamos el comportamiento individual de los valores propios de las matrices laplacianas del grafo cíclico de orden $n$, donde una arista tiene peso $\alpha>1$ y las demás tienen peso $1$. Estas matrices son reales y simétricas, por lo tanto sus valores propios son reales, y los ordenamos ascendentemente: $\lambda_1 < \lambda_2< \cdots < \lambda_n$. Es un hecho simple probar que $\lambda_1 = 0$, para $n>\alpha/(\alpha-1)$. Mostramos que $\lambda_n$ es mayor que 4, mientras que los demás pertenecen al intervalo $[0,4]$ y se encuentran distribuidos como la función $x\mapsto 4\sin^2(x/2)$. Más aún, cuando $n\to \infty$, probamos que la sucesión formada por los valores propios mayores que $4$ converge exponencialmente a $4\alpha^2/(2\alpha-1)$. Derivado de lo anterior, para el valor propio aislado hacemos el cambio de variable $\lambda_n = 4\cosh^2(x_n/2)$, y $\lambda_j = 4\sin^2(x_j/2)$ para los otros valores propios. En cada caso calculamos el polinomio característico y representamos las correspondientes ecuaciones características en la forma $x_n = \zeta(x_n)$ y $x_j = ((j-1)\pi + \eta_j(x_j))/n$. Para $n$ suficientemente grande justificamos la solución numérica de las ecuaciones anteriores utlizando iteración de punto fijo y Newton-Raphson. Derivado de las mismas ecuaciones deducimos expansiones asintóticas cuando $n\to\infty$ para cada valor propio: \begin{align*} \lambda_j & = f(j/n) + \frac{g_j(j/n)}{n} + O(1/n^2),\\ \lambda_n & = \frac{4\alpha^2}{2\alpha-1} + u(\alpha) e^{-n\log(2\alpha-1)} + O(ne^{-2n\log(2\alpha-1)}), \end{align*} donde $f,g_j,u$ son ciertas funciones que dependen de los cambios de variable y las funciones $\zeta$ y $\eta_j$ así como de sus derivadas. Lo anterior es parte de mi tesis de maestría desarrollado en conjunto con los doctores Sergei Grudsky y Egor Maximenko. En esta plática mostraremos los resultados e ideas principales de este trabajo.