Estudio matemático de la construcción de las escalas musicales a partir de las fracciones continuas. Un vínculo entre las matemáticas y la música.

Ponente(s): Luis Adolfo Martinez Antaño, Dr. Edgardo Locia Espinoza

Un teclado de piano completo contiene 88 teclas de las cuales 52 son blancas y 36 son negras. Cada tecla corresponde a un sonido y están ordenadas de izquierda a derecha, desde la que produce el sonido más grave hasta la que produce el sonido más agudo. La disposición de las teclas negras respecto a las blancas sigue un patrón bien definido. Como se muestra en la figura, se pueden distinguir grupos de teclas de tal manera que si iniciamos esta agrupación en la tercera tecla blanca obtenemos siete grupos cada uno de los cuales contiene 7 teclas blancas y 5 negras. A cada uno de estos grupos se le llama octava, por lo que el teclado tiene 7 octavas completas y tres sonidos antes de la primera y uno después de la última. La cuarta octava es llamada la octava central. Los nombres de cada sonido producido al pulsar cada tecla (en cualquiera de las octavas), de derecha a izquierda son do, re, mi, fa, sol, la y si, para las teclas blancas y do sostenido, re sostenido, fa sostenido, sol sostenido y la sostenido para las teclas negras. Como estos nombres se repiten en cada octava, para distinguirlos se agrega el número de octava a la cual pertenecen, por ejemplo, el do de la primera octava es do1, el de la segunda octava es do2 y así sucesivamente. A do4 se le conoce como do central. Siguiendo el mismo patrón, se podrían agregar más teclas tanto a la izquierda como a la derecha y esto, en teoría, podría ser de manera indefinida, sin embargo, los sonidos correspondientes a estas teclas que se agregaran serían imperceptibles por el oído humano pues entrarían en la categoría de infrasonidos y ultrasonidos, respectivamente. El mecanismo que tiene el piano para producir sonidos es que al pulsar una tecla determinada, acciona un martillo que percute a una cuerda con una longitud y una tensión determinadas. La música, como la conocemos hoy en día, se basa en estos doce sonidos que constituyen la escala cromática, repitiéndose en cada octava. Así están construidos los diferentes instrumentos musicales, cada uno con su mecanismo propio, aunque no todos abarcan el mismo número de octavas que el piano ni el mismo mecanismo para producir sonidos. Al rango de sonidos que es capaz de producir un instrumento se le llama tesitura. Por ejemplo, la guitarra consta de seis cuerdas y un mástil (llamado diapasón) que está dividido por barras metálicas. Las cuerdas están atadas a la parte inferior de la guitarra en lo que se llama puente. Al espacio entre cada barra se le llama traste. Al presionar alguna de las cuerdas en algún traste, la longitud entre ese traste y el puente es más pequeña que la longitud total, por lo tanto, el sonido que produce al pulsar la cuerda, es más agudo que el que produce sin pisarla. La tesitura de la guitarra, va desde un mi2, hasta un si5, es decir, es menos amplia que la del piano. La voz humana es también un instrumento musical. Cada persona tiene una tesitura determinada. No es difícil identificar que, en general, la voz femenina es más aguda que la voz masculina, pero aún, en cada grupo de voces (masculina o femenina) existen diferentes tesituras. Es decir, no todas las mujeres tienen la misma tesitura y eso ocurre también con los hombres. Las voces masculinas se clasifican en las siguientes categorías: bajo (de mi2 a mi4), barítono (de fa2 a fa4) y tenor (de do3 a do5). Análogamente, las voces femeninas se clasifican en: contralto (de mi3 a mi5), mezzosoprano (de la3 a la5) y soprano (de do4 a do6). A pesar de esta diversidad de tesituras tanto en los instrumentos construidos por el hombre como en las voces humanas, las composiciones musicales las conjuntan para crear armonías que son agradables al oído. Por ejemplo, un instrumento puede tocar una melodía en cierta octava y otro puede tocarla en otra (más alta o más baja) y el resultado es agradable. Se trata de un fenómeno llamado consonancia que será explicado más adelante. Al conjunto de los doce sonidos distintos que existen en cada octava, se le llama escala cromática y es una construcción humana que se ha ido perfeccionando a lo largo de la historia. Las interrogantes que surgen de manera inmediata son ¿por qué son 12 sonidos? ¿por qué precisamente esos? ¿qué relación guardan entre sí las notas que llevan el mismo nombre, por ejemplo, do1, do2, do3, etc.?¿Existen escalas que contengan distintas cantidades de sonidos diferentes a 12? ¿qué reglas se siguen para construir las escalas? Como veremos más adelante, las respuestas a estas preguntas pondrán en evidencia algunas de las relaciones tan estrechas que existen entre las matemáticas y la música. Intentaremos exponer los resultados de tal manera que sean entendibles para lectores que no sean expertos en cuestiones musicales. Bibliografía Benson, D. (2006) Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press Hardy, G. Wright, E. Heath-Brown, D. Silverman, J. (2008) An introduction to the Theory of Numbers. Posts & Telecom Press. Miyara, F. (2018) La música de las esferas: de Pitágoras a Xenakis... y más acá. Apuntes para el coloquio del Departamento de Matemática. Universidad Nacional de Rosario. Caruso, X. Application des fracctions continues à la construction des gammes musicales. RMS Révue de la filière mathématiques. Vol 123 (1). 18-36. Hellegouarch Y (1984) Gammes Naturelles. Bulletin de l’Asociation des Professeures de Mathématiques de l’Enseignement Publique. Vol 53. 127-164. Parzysz, B. 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