Generando códigos lineales a partir de tablas de caracteres.

Ponente(s): Josue Miguel Villalobos Padilla, Gil Salgado, Claudia Maricela Solís Aguilar, María de la Paz Suárez Fernández, Josué Miguel Villalobos Padilla.

En esta charla nos centramos en encontrar los parámetros de los códigos lineales que se generan utilizando las tablas de caracteres, de algunos grupos finitos no abelianos, para definir sus matrices generatrices. Considerando que nos centraremos en la búsqueda de códigos lineales cuyo parámetro de distancia sea lo más grande posible. Dentro de la teoría de códigos lineales se definen tres parámetros; que nos permiten conocer ciertas características de estos. Definimos un código lineal $C$ con parámetros $[n,k,d]$ como un subespacio vectorial de $\mathbb{F}^k$, con $\mathbb{F}$ el alfabeto sobre el que esta definido, donde las palabras de $C$ tienen longitud $n$ y con distancia mínima de Hamming $d$. Dos matrices de importancia que nos permiten generar códigos lineales son la matriz de control y la matriz generatriz. Con la matriz de control podemos calcular la distancia del código y los renglones de la matriz generatriz forman una base para el código lineal. Por nuestra parte, proponemos usar la transpuesta de la tabla de caracteres de un grupo finito no abeliano, como parte de la matriz generatriz del código lineal, para luego calcular los parámetros de este código. Encontramos que si se parte de un grupo finito como es $S_m$ (el grupo de permutaciones de $m$ elementos) y al construir la matriz generatriz $G$ en su forma estándar es decir $G=(\operatorname{Id}| T)$, con $T$ la tabla de caracteres, entonces existe un número primo $p$ tal que para todo número primo menor a el, la distancia mínima del código es menor. Además, para cualquier número primo mayor que este, la distancia mínima del código se estabiliza. Logramos implementar un algoritmo que calcula de forma eficiente la distancia para c\'odigos lineales con matriz generatriz $G$. Empezamos un estudio estadístico del comportamiento de la distancia en función del número $m$ que define al grupo de permutaciones. Estamos estudiando el mismo problema considerando cualquier grupo abeliano finito.