CAMPOS DE JACOBI PARA SPRAY DE POISSON

Ponente(s): Jhonny Kama Mamani

El problema principal de mi proyecto de doctorado consiste en definir la noción de campos de Jacobi para spray de Poisson que sea análoga al concepto de campos de Jacobi para sprays geodésicos en variedades Riemannianas. Las geodésicas en una variedad Riemanniana se obtienen proyectando las trayectorias de un campo en el fibrado tangente llamado spray geodésico. Los campos de Jacobi son campos vectoriales a lo largo de una curva geodésica que satisfacen la ecuación de Jacobi, la cual se obtiene al estudiar variaciones de una curva geodésica. Entre las aplicaciones más importantes de los campos de Jacobi podemos mencionar los siguientes: (i) Establecen condiciones necesarias necesarias y suficientes para que la exponencial geodésica sea un difeomorfismo local. (ii) Permiten encontrar condiciones suficientes para que un segmento geodésico no sea una curva minimizante. Los sprays son campos vectoriales en el haz tangente a una variedad que son cuadráticos por fibras los cuales pueden construirse mediante una conexión lineal en el fibrado tangente; en el caso particular de una conexión Riemanniana recuperamos el spray geodésico. Para una variedad de Poisson, los spray de Poisson son campos vectoriales sobre sobre el haz cotangente de la variedad de Poisson que son cuadráticos por fibras. Los sprays de Poisson han probado ser una herramienta muy útil para diversas construcciones. Las curvas geodésicas de un spray de Poisson de definen como curvas en la variedad correspondientes a proyecciones de curvas integrales del spray de Poisson. Por lo que los campos de Jacobi podrían definirse mediante variaciones de curvas geodésicas de manera análoga al caso Riemanniano.. Una vez logrado el objetivo del proyecto de investigación se tendría la posibilidad de formular y probar algunos resultados clásicos de la geometría Riemanniana para el caso Poisson.