Formas de razonar que evidencian profesores de matemáticas en formación al resolver una tarea de generalización en el contexto de una sucesión exponencial

Ponente(s): José Alfredo Zicatl García, Grecia Lezama Herrera Guadalupe Cabañas Sánchez

1. Introducción. El estudio describe las formas de razonar que moviliza un futuro profesor de matemáticas (18-19 años de edad), al confrontar las respuestas que dan tres estudiantes hipotéticos de matemáticas, a preguntas de generalización cercanas y lejanas no consecutivas, en el marco de una tarea de generalización, asociadas a una sucesión exponencial. El estudio se justifica por la importancia que tiene la argumentación en la etapa formativa de futuro profesor de matemáticas (FPM) previo a su insersión como docente de matemáticas. En el contexto de sucesiones articuladas a lo exponencial, pocos (si los hay), se han interesado en indagar las formas de razonar en este tipo de población. La pregunta de investigación que nos planteamos es la siguiente: ¿Qué tipo de razonamiento movilizan FPM en tareas de generalización de patrones asociados a una sucesión exponencial? El objetivo consiste en caracterizar el tipo de razonamiento que movilizan FPM, asociados a una sucesión exponencial. 2. Marco Conceptual Nos sustentamos en la propuesta teórico metodológica de Conner et al. (2014), quienes articularon Caso, Regla y Resultado de Pierce con Dato, Conclusión y Garantía de Toulmin a fin de evidenciar cuatro tipos de razonamientos, el abductivo, inductivo, deductivo y el de analogía. El modelo argumentativo y ampliado de Toulmin, propuesto por Conner (2008) fue fundamental para reconstruir la argumentación a partir de las producciones escritas y las explicaciones verbales que presentó el FPM ante preguntas como: ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con la respuesta que dio el estudiante? ¿Por qué? Explica qué hiciste para confrontar las respuestas que dieron los estudiantes, Si estás en desacuerdo con la respuesta, ¿Cuál es la solución? Esta propuesta, considera las intervenciones del profesor/investigador, quien promueve la argumentación. 2.1. Tipología de razonamientos Abductivo (RA). Una inferencia que permite construir afirmaciones a partir de un hecho observado. Inductivo (RI). Una inferencia que permite construir una generalización de algunos casos particulares. Deductivo (RD). Una inferencia que permite la construcción de una afirmación partiendo de un dato y una regla (Pedemonte, 2007). Analogía (RAnal). Observación de la correspondencia entre las estructuras de un sistema y la de otro sistema, representando una especie de mapeo que tiene lugar de un sistema a otro (English, 1997). 2.2. Generalización Por generalización se entiende en el sentido de Kaput (1999) quien la concibe como: … extender deliberadamente el rango de razonamiento o comunicación más allá del caso o casos considerados, identificando explícitamente y exponiendo similitud entre casos, o aumentando el razonamiento o comunicación a un nivel donde el foco no son los casos o situación en sí mismos, sino los patrones, procedimientos, estructuras, y las relaciones a lo largo y entre ellos (p. 58). 2.3. Patrón Por cuento al concepto de patrón, adoptamos la conceptualización de Mulligan y Michelmore (2009), como “Cualquier regularidad que usualmente involucra relaciones numéricas, espaciales o lógicas” (p. 34). 3. Método El estudio sigue un enfoque cualitativo, que implicó un diseño de estudio de caso de tipo instrumental, acotado en el tiempo y en el espacio (Stake, 1999), con el propósito de profundizar en las formas de razonar de FPM, apoyados de la propuesta teórico-metodológica de Conner et al (2014). 3.1. La tarea y contexto Los datos empíricos provienen de una tarea de generalización de patrones en el contexto de una función exponencial, que desafió a 6 FPM a construir una expresión matemática plausible que explique cómo se comporta el patrón figural asociado, en etapas consecutivas y no consecutivas, con base en ello, estarían en condiciones de confrontar las respuestas que dieron tres estudiantes hipotéticos de matemáticas, a la tarea. El patrón involucrado, lo constituye una figura compuesta por dos cuadrados, uno inscrito en otro, y divididos en cuadrados del mismo tamaño. Se les desafía, a determinar el número de cuadrados que comprenden la región visible del cuadrado circunscrito, en etapas cercanas y lejanas. Los FPM resolvieron la tarea de forma individual, en un ambiente de papel y lápiz. Durante el proceso de solución, se les plantearon preguntas a fin de profundizar en el proceso de solución. 3.2. Participantes Fue seleccionado un FPM de un grupo de seis (18-19 años), como la unidad de análisis del estudio de caso, matriculado en una licenciatura en matemáticas en una universidad pública del suroeste de México. Su selección atendió a cuatro criterios: a) Haber experimentado con el tema de las sucesiones exponenciales, b) Resolver una tarea de generalización asociada a una sucesión exponencial, c) Responder a preguntas sobre el proceso de resolución al momento en que la resolvió. Si bien los seis FPM habían experimentado con el tema de las sucesiones durante etapa formativa previa (secundaria y bachillerato), así como en los dos primeros semestres de la licenciatura en matemáticas, sólo uno construyó una expresión matemática plausible que explica cómo se comporta el patrón figural en cualesquiera de sus etapas. Asimismo, respondió a preguntas sobre el proceso de resolución mientras dio solución a la tarea. 3.3. Análisis de datos El análisis de los datos provienen de las producciones escritas y las respuestas verbales a preguntas que se le hicieron al resolver la tarea. Con base en ello, se reconstruyó la argumentación suscitada por el FPM. El modelo argumentativo y ampliado de Toulmin fue útil en este proceso,, así como la tipología propuesta por Conner et al (2014). 4. Resultados Los resultados muestran que el FPM movilizó los cuatro tipos de razonamientos: abductivo, inductivo, deductivo y por analogía. El RA, se identifica en cuatro momentos (M). M1: Cuando reconoce que resolver la tarea, implica determinar el área de los cuadrados inscritos y el circunscrito. Se apoya de la fórmula básica lado por lado. M2: Al momento que construye la expresión matemática que explica cómo determinar la medida del lado de uno de los cuadrados, el circunscrito, y M3, cuando construye la expresión matemática para determinar el área del cuadrado circunscrito. El RI, cuando verifica con casos particulares (etapas consecutivas) la expresión matemática que construyó, y el RD, cuando la valida en casos lejanos y resulta que le funciona. El RAnal, cuando usa esas formas de proceder, para determinar el área del cuadrado inscrito. Para determinar la región que se le pide determinar, reconoce que es suficiente con restar la medida de área del cuadrado inscrito, a la medida del área del cuadrado circunscrito, este razonamiento, es RA (M4). Verifica en etapas cercanas o casos particulares (RI) y la valida en etapas lejanas (RD). La regla general la expresó apoyándose de operaciones aritméticas, como la multiplicación y la resta. Las estructuras matemáticas que construyó fueron de tipo deconstructivas. Referencias bibliográficas Conner, A., Singletary, L. M., Smith, R. C., Wagner, P. A., & Francisco, R. T. (2014). Identifying kinds of reasoning in collective argumentation. Mathematical Thinking and Learning, 16(3), 181-200. Conner, A. (2008). Expanded Toulmin diagrams: a tool for investigating complex activity in classrooms. En O. Figueras, J. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano, & A. Sepúlveda (Eds.). Proceedings of International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol 2, pp. 361-368). México, Morelia. English, L. D. (1997). Analogies, metaphors, and images: Vehicles for mathematical reasoning. In L. D. English (Ed.),Mathematical Reasoning: Analogies, Metaphors, and Images (pp. 3–20). Mahwah, NJ: Erlbaum. Kaput, J. (1999). Teaching and learning a new algebra. En E. Fennema y T. A. Romberg (Eds.), Mathematics classrooms that promote understanding (pp. 133-155). Mahwah, NJ: Lawrence Erl- baum Associates. Mulligan, J., y Mitchelmore, M. (2009). Awareness of pattern and structure in early mathematical development. Mathematics Education Research Journal, 33-49. Pedemonte, B. (2007). How can the relationship between argumentation and proof be analysed? Educational Studies in Mathematics, 66, 23–41. Stake, R. E. (1999). Investigación con estudio de casos, Editorial Morata.