¿Podemos determinar las foliaciones sobre superficies K3 proyectivas por su esquema singular?

Ponente(s): Daniel Stiven Posada Buriticá

Una foliación holomorfa por curvas F en una variedad compleja M , es una descomposición de M por curvas, que localmente son definidas como soluciones de una ecuación diferencial z′ = X(z), donde X es un campo vectorial holomorfo no idénticamente cero. La noción anterior puede reformularse diciendo que F es un morfismo de haces vectoriales α : L → ΘM , donde L es un haz de líneas en M y ΘM es el haz tangente de M . El esquema de puntos p en M tales que α(p) = 0 se conoce como el esquema singular de F. Diremos que una foliación F está determinada por su esquema singular, si F es la única foliación con dicho esquema singular. Para foliaciones F con singularidades aisladas (la dimensión de su esquema singular es cero), se tienen los siguientes resultados: Si M = Pn y L = O(1 − r), F está determinada por su esquema singular si r ≥ 2 (ver [2] y [3]). Si M es una superficie de Hirzebruch Sδ : Para δ = 1 el esquema singular determina la foliación, con algunas excepciones para L. Para δ ̸ = 1 no es cierto en general que el esquema singular determine la foliación; sin embargo, para la gran mayoría de haces lineales L se prueba que dos foliaciones F y F′ con morfismos de haces α y α′, respectivamente, tienen el mismo esquema singular si y solo si α′ = Φ(α), donde Φ es un endomorfismo global del haz tangente de Sδ (ver [1]). El objetivo de esta plática es estudiar foliaciones sobre superficies K3 proyectivas y obtener condiciones que garanticen que el esquema singular de una foliación, la determina completamente. Referencias [1] C. Galindo, F. Monserrat and J. Olivares, Foliations with isolated singularities on Hirzebruch surfaces, Forum Math. (2020), 33(6): 1471-1486. [2] A. Campillo and J. Olivares, On sections with isolated singularities of twisted bundles and applications to foliations by curves, Math. Res. Lett. 10 (2003), no. 5-6, 651-658. [3] X. Gómez-Mont and G. Kempf, Stability of meromorphic vector fields in projective spaces, Comment. Math. Helv. 64 (1989), no. 3, 462-473.