Transversales geométricas y conjuntos coloreados

Ponente(s): Cuauhtémoc Gómez Navarro, Edgardo Roldán Pensado

Estudiaremos propiedades combinatorias de familias de conjuntos convexos. Consideremos una familia finita de conjuntos convexos en el plano, cada conjunto está coloreado de rojo o azul, de tal manera que cada conjunto rojo intersecta a cada conjunto azul. Usando el teorema topológico del KKM probaremos que o bien toda la familia se puede intersectar con 2 líneas o todos los conjuntos de un color (todos los rojos o todos los azules) se pueden intersectar con 1 punto. Además, una conjetura famosa por Dolnikov es que si la familia consiste de trasladados de un conjunto convexo compacto K, entonces todos los conjuntos de un color (todos los rojos o todos los azules) se pueden intersectar con 3 puntos. También probamos que la Conjetura de Dolnikov es cierta en dos casos particulares: cuando K es de ancho constante o cuando K está muy cerca del círculo con la distancia de Banach-Mazur. De hecho, veremos resultados más fuertes que involucran más de dos colores en dimensiones arbitrarias.