Números característicos de una representación

Ponente(s): José Antonio Arciniega Nevárez, José Luis Cisneros Molina y Agustín romano Velázquez

Para nuestros fines, necesitamos una 3-varidad compacta y orientada y una representación de su grupo fundamental en el grupo general lineal de los complejos. La representación induce un haz vectorial. La curvatura de dicho espacio vectorial induce un elemento en cada grupo de la cohomología par de De Rham de la variedad. Dicho elemento se llama la clase de Chern de la representación. Dado que el haz vectorial inducido es plano, su curvatura es cero, pero se pueden definir las clases características secundarias de Cheeger y Simon, las cuales esán definidas en la cohomologia impar de la variedad con coeficientes en los complejos módulo los enteros. En nuestro caso, por el teorema de coeficientes universales, la clase de Cheeger y Simon puede ser identificad con un homomorfismo de la homología del grupo fundamental de la variedad a los complejos modulo los enteros. Definimos los numeros de Cheeger-Chern-Simon (o números característicos) evaluando el homomorfismo anterior en alguna clase de homología. Note que, por la dimemsión de la variedad, estos números característicos están concentrados en la homología de dimensiones uno y tres. En particular, estamos interesados en los números característicos definidos por la clase fundamental de la 3-vaiedad. En esta plática daremos una forma de calcular números característicos en dimención uno por medio del determinante de la representación y, en dimensión tres, por medio del teorema del índice de Atiyah Patodi Singer. Daremos, como ejemplo, los números característicos de representaciones del grupo fundamental de 3-variedades esféricas cuyos grupos fundamentales son subgrupos finitos de SU(2). Es posible definir estos números para esferas racionales de homología. De este modo, nuestros resultados son una generalización de los resultados de Jones y Westbury quienes dieron elementos geométricos en la parte de torsión del tercer grupo de K-Teoria Algebraica de los complejos a través de esferas de homología entera, mientras que, en nuestro trabajo, probamos que el regulador estudiado por Jones y Westbury coincide con el morfismo que define los números característicos.