¿Cuántas formas de definir y construir las cónicas hay?

Ponente(s): Jorge Alonso Santos Mellado

Históricamente estudio de las las cónicas y sus propiedades han sido uno de los principales tópicos en el área de la geometría, sin embargo, la gran mayoría de las veces tal estudio se hace desde un enfoque métrico: 1) Como el lugar geométrico de los puntos que cumplen una condición métrica, 2) Como el lugar geométrico de los puntos cuyo cociente de sus distancias a un punto y una recta fijos es una constate (excentricidad), 3) Como sección de un cono circular. Si bien este tipo de enfoques han mostrado su utilidad, no son la única forma de definir y construir a la cónica en general. Con un enfoque puramente proyectivo, es decir, considerando solo propiedades basadas en la incidencia entre puntos y rectas se puede definir y construir la cónica como un objeto geométrico. Tal enfoque muestra: 1) La naturaleza autodual de las cónicas: como un lugar geométrico de puntos y simultáneamente como una envolvente de rectas, en donde cada uno de tales puntos está indisolublemente asociado a una, y solo una, de las rectas e inversamente 2) Que la noción de hileras y haces armónicos es la noción central que permite definir y construir a la cónica. Si bien tanto las diversas definiciones métricas como las proyectivas son equivalentes entre sí, mostrarlo es extenso, pero permite apreciar un sinnúmeros de relaciones entre los enfoques métricos y proyectivos de la geometría sintética. Por ejemplo, bajo un enfoque métrico, para construir una cónica es necesario asumir como dada la circunferencia; esto no pasa bajo el enfoque proyectivo en donde se puede construir la cónica sin asumir como dada ninguna cónica. En esta plática mostraremos que las cónicas se pueden construir sin recurrir a ninguna noción métrica, sino solo a partir de propiedades proyectivas. Esbozaremos las definiciones de von Staudt y Steiner para la cónica y pondremos de relieve que la noción de armonía es pieza central en tales definiciones, lo cual a su vez muestra qué tan relevante puede llegar a ser la noción de hileras y haces armónicas en el terreno de la geometría. Finalmente, a manera de ejemplo, mostraremos que la circunferencia cumple con las definiciones proyectivas de la cónica. Referencias: Baltus, C. (2020). Collineations and Conic Sections. An Introduction to Projective Geometry in its Histoty. Suiza: Springer-Verlag Coxeter, H. S. M. (1987). Projective Geometry (segunda ed.) Estados Unidos de América: Springer-Verlag