Introducción a Teoría Espectral

Ponente(s): Maribel Loaiza Leyva

En álgebra lineal se pone particular énfasis en el cálculo de valores y vectores propios de matrices cuadradas. Estas últimas pueden verse como transformaciones lineales definidas en espacios vectoriales de dimensión finita. Al equipar a dichos espacios con una norma, las transformaciones lineales son continuas. En espacios de Banach de dimensión infinita no toda transformación lineal es continua, las que lo son se llaman acotadas y forman un álgebra de Banach. Dentro de este contexto, el espectro de un elemento $x$ se define como el conjunto de todos los escalares $\lambda$ tales que $x-\lambda I$ no es invertible. Cuando el álgebra de Banach es el conjunto de matrices cuadradas, el espectro de un elemento está formado por sus valores propios y siempre es finito. En el caso general, el espectro no tiene porque tener esta propiedad; sin embargo, es siempre compacto y no vacío si el álgebra es compleja. En esta plática hablaremos de las propiedades fundamentales del espectro y de su importancia en diversas áreas de la ciencia.