Decodificación de Códigos Sesgados-Diferenciales Reed-Solomon

Ponente(s): José Patricio Sánchez Hernández, José Gómez-Torrecillas y Gabriel Navarro

En esta plática, una gran clase de códigos lineares MDS son construidos. Estos códigos son dotados de un algoritmo de decodificación eficiente. Los códigos, así como el algoritmo de descodificación, sólo requieren métodos de Álgebra Lineal. En particular, consideremos un campo $K$, que puede ser finito (para códigos lineales de bloque, $K= \mathbb{F}_{q}$) o infinito (para códigos convolutionales, $K=\mathbb{F}_{q}(t)$, el campo de funciones racionales en la variable $t$ sobre $\mathbb{F}_{q}$). Llamaremos a nuestro Códigos Sesgados-Diferenciales Reed-Solomon porque son definidos de una derivada sesgada de un campo $K$ a partir de matrices de comprobación paridad (parity check matrix) y se convierten en MDS con respecto de la distancia usual de Hamming. Cada código $C_{(\varphi_u,\alpha,d)}$ depende de tres parámetros. Concretamente, $\varphi_u$ es una transformación de $K$, definida por un elemento $u \in K$ y una derivada sesgada, que se convierte en lineal con respecto de un subcampo adecuado $K^{\varphi_u}$ de $K$, $\alpha$ es un vector cíclico de $\varphi_u$, y $d$ es la distancia mínima diseñada de Hamming del código. Luego, diseñamos un algoritmo de decodificación algebraico, que funciona así: de una palabra corrupta de hasta $\tau = \lfloor \frac{d-1}{2} \rfloor$ errores, una matriz es computada recursivamente a partir de los síndromes. El kernel izquierdo de esta matriz es un vector no nulo $\rho$. Con este vector a la mano, una segunda matriz $L$ es computada recursivamente. La matriz $L$ da un fácil procedimiento para obtener las posiciones de los errores. Una vez identificadas estas posiciones, los valores de los errores son la solución de un sistema lineal de ecuaciones.