El Anillo de Grupo y Grupos con Producto Único

Ponente(s): Victor Adrian Meza Campa

A partir de un grupo G y un campo K, se puede formar un anillo que hereda las operaciones de K y G, esta estructura se conoce como anillo de grupo y se denota KG. El anillo de grupo ha sido útil en diversas cuestiones y existen a día de hoy diversos cuestionamientos, pero, en particular, debido al comportamiento de estos, Higman y posteriormente Kaplansky se llevaron a cuestionar, ¿Si G es libre de torsión, KG tiene unidades no triviales? La pregunta fue resuelta de manera negativa recientemente por Giles Gardam, dando un grupo libre de torsión para el cual, sobre diversos campos, el anillo de grupo tiene unidades no triviales. El grupo del contraejemplo fue de gran interés en este sentido, aún desde antes de saber que era un contraejemplo, pues no satisfacía una propiedad que en realidad implica no tener unidades no triviales, ser un grupo con producto único. En esta plática se introducen los conceptos de anillo de grupo, las conjeturas de Kaplansky y una propiedad que ha sido relevante para estas, como la es la de producto único. Además, se desarrolla el contraejemplo dado por Gardam y propiedades que hacen a este grupo especial.