Polinomios de Schur con variables repetidas.

Ponente(s): Luis Angel Gonzalez Serrano, EGOR MAXIMENKO

Los polinomios de Schur forman una base para el espacio de todos los polinomios simétricos en varias variables. Cuando todas las variables son diferentes a pares, estos polinomios se pueden calcular mediante varias fórmulas conocidas. En esta plática mostraré dos definiciones principales: fórmula de Jacobi--Trudi y fórmula bialternante, las cuales generalizaremos para el caso cuando hay variables repetidas. Nuestros resultados principales son tres demostraciones para polinomios de Schur como cociente de determinantes de matrices de la forma: \[ \schur_{\lambda}(y_1^{[\kappa_1]}, \ldots, y_n^{[\kappa_n]}) = \frac{\det G_{\lambda}(y,\kappa)}{\det G_{\emptyset}(y, \kappa)}. \] Aquí la notación $y_p^{[\kappa_p]}$ representa la variable $y_p$ repetida $\kappa_p$ veces con $y_1, \ldots, y_n$ diferentes a pares. La matriz $G_\lambda(y, \kappa)$ está en términos de la partición $\lambda$ y las variables $y_1, \ldots, y_n$. La matriz $G_{\emptyset}(y, \kappa)$ es la matriz $G_{\lambda}(y, \kappa)$ con la partición entera cero. En nuestra primera demostración multiplicamos la matriz de Jacobi--Trudi por una matriz auxiliar. En la segunda y tercera demostración, usamos propiedades de polinomios homogéneos completos y operaciones elementales.