Sobre la regularidad de las soluciones a un problema de Neumann ligeramente subcrítico

Ponente(s): Edgar Alejandro Antonio Martínez, Jorge Sánchez Ortiz Rosa María Pardo San Gil Martin Patricio Árciga Alejandre

Consideremos el siguiente problema elíptico \begin{equation} \label{PN1} \left\{ \begin{array}{rcll} -\Delta u +u &=& f(x,u), \quad &x\in \Omega \,,\\% \frac{\partial u}{\partial \eta } &=& f_{B}(x,u),\quad &x\in \partial \Omega , \end{array} \right. \end{equation} donde $\Omega \subset \mathbb{R}^N\ (N >2)$ es un dominio abierto y acotado con $C^{2,\alpha }$ ($0< \alpha < 1$) límite $\p \Om$, $\partial/\partial \eta:=\eta(x) \cdot \nabla$ denota la derivada normal externa en $\partial \Omega $, y el término de reacción no lineal $f:\Omega \times \ mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ y $f_{B}:\partial \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ son {\it ligeramente subcrítica} funciones de Carathéodory. A través de un esquema de iteración de De Giorgi-Nash-Moser, se sabe que las soluciones débiles a \eqref{PN1} con crecimiento crítico están en $L^\infty(\Omega )$. \\ Nuestra contribución es proporcionar una estimación explícita $L^\infty(\Omega )$ de soluciones débiles con crecimiento ligeramente subcrítico, en términos de potencias de sus normas $H^1(\Omega )$. Nuestro método combina la regularidad elíptica de soluciones débiles con la desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg.