Método de ida y vuelta en lógicas infinitarias

Ponente(s): José Adrián Gallardo Quiroz

Recordemos que Cantor demostr\'o que cualesquiera dos \'ordenes lineales densos, numerables y sin extremos son isomorfos usando un argumento de \lq\lq ida y vuelta". Resulta natural preguntarse si este argumento puede generalizarse a casos no numerables. Primero, para un cardinal infinito $\kappa$, definiremos qu\'e significa que dos estructuras $\mathfrak{A}$ y $\mathfrak{B}$ sean $\kappa$-parcialmente isomorfas ($\mathfrak{A}\cong_\kappa \mathfrak{B}$). En general, este m\'etodo de ida y vuelta no funciona para probar que dos estructuras son isomorfas porque existen ejemplos de estructuras $\mathfrak{A}$ y $\mathfrak{B}$ de cardinalidad $\kappa$ que son $\kappa$-parcialmente isomorfas pero no son isomorfas. En segundo lugar, hablaremos del teorema de Karp el cual establece que dos estructuras $\mathfrak{A}$ y $\mathfrak{B}$ son $\kappa$-parcialmente isomorfas si y solamente si $\mathfrak{A}$ y $\mathfrak{B}$ satisfacen los mismos enunciados de la l\'ogica infinitaria $L_{\infty\kappa}$. Por \'ultimo, daremos una aplicación del teorema de Karp para determinar bajo qu\'e condiciones un grupo abeliano es $L_{\infty\kappa}$-equivalente a un grupo libre.