Convirtiendo el teorema KKMSP de cerrados a abiertos

Ponente(s): Leonardo Ignacio Martínez Sandoval, Ariadna Rodríguez Ramírez

El teorema KKM es un resultado topológico fundamental, del tipo teorema del punto fijo. Puede considerarse como una versión continua del lema de Sperner. A grandes rasgos, el teorema dice que si se cubre un simplejo $d$-dimensional de vértices $\{1,\ldots,d+1\}$ con cerrados $C_1,\ldots,C_{d+1}$, de manera que para cada $J\subseteq \{1,\ldots,d+1\}$ se tiene que la cara generada por $J$ es cubierta por la unión $\bigcup_{j\in J} C_j$, entonces $\bigcap_{i=1}^{d+1} C_i\neq \emptyset$. En 1994, Komiya dio una demostración elegante de una generalización (la versión KKMS), y mencionó de paso que dicha prueba puede extenderse a una versión politopal todavía más general (KKMSP), sin demostrarlo explícitamente. Recientemente, en la tesis de maestría de Ariadna Rodríguez, se presenta una demostración completa de esta generalización. El objetivo de esta plática es dar, más aún, una versión para conjuntos abiertos de KKMSP que sea aplicable en teoría geométrica de transversales. Se sabe que KKM es válido para conjuntos abiertos y el argumento es sencillo. Pero mostrar KKMSP para abiertos requiere de un argumento mucho más cuidadoso debido a la estructura politopal.