Un puente entre Geometría y Teoría Aditiva de Números

Ponente(s): Brien Navarro Ambriz, Mario Alejandro Huicochea Mason

Sean $n,d\in \mathbb{Z}$ y $A\subset \mathbb{R}^d$ en posición convexa tal que $|A|=n$. Definimos el conjunto de puntos medios de $A$ como \begin{equation*} M=\left\lbrace \frac{a_1+a_2}{2}: a_1,a_2\in A, a_1\neq a_2\right\rbrace. \end{equation*} Una pregunta bastante interesante con respecto al conjunto $M$ sería la siguiente. ¿Será posible estimar de manera no trivial una cota inferior para la cantidad $|M|$ sobre todas las posibles configuraciones de $A$ cuando $|A|=n$? La pregunta anterior en cualquier contexto resulta desafiante. Sin embargo, ¡su respuesta resulta afirmativa!, de hecho, en 1990, Erd\"os, Fishburn y F\"uredi demuestran que en el caso $d=2$ esta cantidad es $\Omega(n^2)$. En esta charla veremos como podemos dar un avance en la solución del problema en el caso $d>2$ usando herramientas de Teoría Aditiva de Números junto con Geometría Discreta así como aplicaciones de este resultado hacía problemas tipo Helly en $\mathbb{Z}^d$.