Axiomáticas sintéticas para diferenciar lo conexo de lo discreto en topos bivaluados

Ponente(s): Pedro Antonio Ricardo Martín Solórzano Mancera, Enrique Ruiz

Desde el descubrimiento de cuán profunda era la capacidad representativa de la teoría de categorías, se han estudiado los topos como vehículo para modelar distintas teorías de conjuntos. Dentro de este contexto, desde hace más de 40 años se descubrió que había topos en los que podía describirse sintéticamente la noción de diferenciabilidad a través de la existencia de infinitesimales. Estos infinitesimales, otrora proscritos, regresaron como objetos en algún sentido diminutos dentro del topos modelo. Una de las razones por la que esto tenía solidez es porque la lógica interna de este modelo no es la lógica estándar (donde el conjunto de valores de verdad es exactamente el 2={0,1}). Esto en particular elimina el supuesto de la validez universal de la regla de la eliminación de la doble negación. El propósito de este reporte es describir un poco cómo estos modelos con lógicas no estándar pueden entenderse de manera más o menos intuitiva. En particular, la intención es mostrar un resultado que describe completamente la diferencia entre ser conexo y discreto (en un sentido que se definirá en la charla) en el caso en el que la lógica sí es dos valuada, mas su conjunto de valores de verdad no es 2.