La existencia de los 5 poliedros de platónicos en R^3

Ponente(s): Salma Cortés Carranza

Este trabajo tiene como objetivo principal demostrar la existencia de los 5 poliedros platónicos en R³, también destacar la importancia de los poliedros a lo largo de la historia para ello se dará un breve resumen histórico sobre los poliedros y su importancia cultural como quienes fueron sus predecesores y que aportaciones dieron, hablaremos también sobre la fórmula de Euler y daremos explicaciones breves de cómo podemos demostrar dicha fórmula la cual nos dará como resultado una vía para hacer una demostración para la existencia de los 5 únicos poliedros platónicos en R³, como conclusión si es que cambiamos un poco la propiedad de convexidad del poliedro obtenemos el mismo resultado, en donde nos daremos cuenta que en este caso la fórmula de Euler no nos funciona por ende se tiene que volver a replantear una nueva fórmula para estos casos. Introducción Desde la prehistoria la geometría ha sido una pieza clave para entender, comunicar y expresar nuestro entorno físico, la palabra geometría proviene del griego geometrein que significa geo-tierra y metrein-medir por lo cual, la geometría es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades del espacio, se tiene registro que uno de los primeros que hicieron uso de ella fueron los egipcios para medir campos y obtener la medida de ángulos rectos para sus construcciones, los griegos también hicieron contribuciones significativas en el desarrollo de la geometría como disciplina matemática con matemáticos como Tales de Mileto, Pitágoras, Euclides, Arquimides y Apolonio de Perga entre otros. Sin embargo, el matemático griego Euclides en su obra “ELEMENTOS”, que data del siglo III a.C., proporciono una descripción sistemática y formal de los poliedros, estableciendo las reglas y propiedades que gobiernan estas formas geométricas. Los poliedros más famosos son los llamados platónicos, son estudiados por primera vez en Grecia, estos son el tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. La demostración que sólo existen estos se atribuye a Teeteto(425-379 a.C) de la escuela de Platón. La historia de los sólidos platónicos ha sido elemento de estudio de todas las civilizaciones, desde la época de la edad de piedra. En la cosmogonía pitagórica del Timeo de Palton, los asocia como una combinación de los elementos naturales básicos, atribuye a cada uno de estos sólidos uno de los cuatro elementos, en el pasaje en el que describe la creación del universo. El tetraedro es el fuego, el octaedro el aire, el cubo la tierra, y el icosaedro las moléculas de agua. Concluye Platón que el Creador utilizó el dodecaedro para formar el universo, ya que este cuerpo era distinto de los otros por sus caras pentagonales, en esa época se creía que los cuerpos celestes debían estar hechos de un elemento distinto, desde éste momento los sólidos pitagóricos pasaron a llamarse sólidos platónicos. Euclides toma los estudios de Pitágoras y Platón y amplía su investigación y escribe su famoso escrito “Los elementos”. Luego, mucho tiempo después el alemán y gran astrónomo Johannes Kepler, (1571- 1630), estudió los poliedros regulares cóncavos y encontró sorprendentes relaciones de su simetría y relación con el número . Poco tiempo después, el gran geómetra francés René Descartes, (1596-1650), estableció las bases para una geometría más practica y, con ello, la posibilidad de estudiar nuevas relaciones de los poliedros; en 1630 estableció su Teorema de los Defectos Angulares para un poliedro. Y con todo, fue con Leonhard Euler que verdaderamente el estudio de la simetría de los poliedros cambió, al establecer en 1750 su Teorema Fundamental para los Poliedros, lo dio a conocer en una carta al matemático prusiano Christian Goldbach, (1690-1764), no obstante, su argumentación para la demostración del teorema no es todo lo satisfactoria que se pudiese esperar; fue el matemático francés Adrien Marie Legendre, (1752-1833), en 1794, quien la demostró por primera vez en forma rigurosa.