Huellas de bicicleta con monodromía hiperbólica

Ponente(s): Luis Hernández Lamoneda

Considera una curva cerrada G en R2, en el plano euclidiano, y piensa que es la huella de la rueda delantera de una bicicleta. La rueda trasera imprime otra huella sobre el plano: ¿sucederá que también esta curva es cerrada? Para cada posición inicial del cuadro de la bici (que supondremos de longitud 1), corresponde una posición final —después de que la bici ha recorrido G. Esta correspondencia define una aplicación M_G : S1 → S1 conocida como la monodromía de bicicleta de G. Un teorema muestra que M_G es una transformación de Möbius. Así que M_G puede tener 0, 1 ó 2 puntos fijos, que equivale a que sea una transformación elíptica, parabólica o hiperbólica. Observa que cada punto fijo corresponde a una huella trasera cerrada. En esta charla hablaré acerca de la Conjetura de Menzin (1906): si el área encerrada por G es mayor que pi entonces M_G es hiperbólica.